✨ ベストアンサー ✨
恒等式について教科書や参考書などよく解いてよく理解してみてくださいね(^-^)
それほど難しい問題じゃないですよ＊
2つやり方があるので2つ書いておきますね
1つ目は係数比較法です
名の通り係数を比較します
分数になってるのでまず両辺にx(x^2-1)をかけます
→5x-1=a(x^2-1)+b{x(x-1)}+c{x(x+1)}
※x^2-1というのは(x+1)(x-1)と因数分解できるので簡単に分母がはらえますよ(*^^*)
右辺を展開し次数を揃えます
右辺=a(x^2-1)+b(x^2-x)+c(x^2+x)
=(a+b+c)x^2+(c-b)x-a
右辺と左辺で係数を比較します
すると
a+b+c=0
c-b=5
a=1
となりこれらを解くことによりa、b、cが得られます
結果だけかきますね
a=1
b=-3
c=2
となります
2つ目は数値代入法です
分母を払うまでは同じです
→5x-1=a(x^2-1)+b{x(x-1)}+c{x(x+1)}
この等式がxについて恒等式ならxにどの値を代入しても成り立つと言えますので実際に数値を代入して解くのが数値代入法です
とりあえずx=1を代入してみます
→4=a(1^2-1)+b{1(1-1)}+c{1(1+1)}
→4=2c
→c=2
次にx=-1を代入してみます
→-6=a{(-1)^2-1}+b(-1)(-1-1)+c(-1)(-1+1)
→-6=2b
→b=-3
最後にx=0を代入します
→-1=-a
→a=1
これで
a=1
b=-3
c=2
数値代入法はこれで終わってはいけません実際a、b、cを入れて左辺と同じになると言わなければなりません
→1(x^2-1)-3{x(x-1)}+2{x(x+1)}
→x^2-1-3x^2+3x+2x^2+2x
→5x-1
右辺は左辺と一致するのでこれは恒等式である
以上です
かなり長いですが細かく書いたからそうなっただけで実際解くとき理解していればこんなに長くないと思いますよ
頑張ってくださいね(*^^*)
