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|bn|＜1/8 とは「0からの距離が1/8以内であること」という意味です。図を見てもらえれば分かる通り，bnが正か負か(nが偶数か奇数か)に関係なく，n≧6ではすべてのbnがこの範囲に収まっています。つまり，わざわざbnが正のときと負のときで場合分けして考える必要はありません。
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すみません。n軸に書いた番号がおかしかったですね。「8」が抜けていました。