参考になりました！笑
ありがとうございます！

a_n=(1～n+1までの和)-1
となることは分かるかな？
1～nまでの和は、
Σ(i=1 ; n)i = n(n+1)/2
だけど、今回は、1～n+1までの和だから、
(上の式のnに、n+1を代入して、)
Σ(i=1 ; n+1)i = (n+1)(n+2)/2
よって、a_n=(n+1)(n+2)/2-1
=(n^2+3n)/2
(どう整理するかは自由かな？)

S_n=Σ(i=1 ; n)a_n
=Σ(i=1 ; n)(n^2+3n)/2
=1/2 Σ(i=1 ; n)(n^2+3n)
=1/2 (n(n+1)(2n+1)/6 + 3n(n+1)/2)
=1/12 (n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1))
=1/12 (2n^3+6n^2+4n)
=n/6 (n^2+3n+2)
=n(n+1)(n+2)/6

最後は、因数分解した方が綺麗だったので
因数分解しました。
途中、次の公式を利用しています。
Σ(i=1 ; n)i^2 =n(n+1)(2n+1)/6
Σ(i=1 ; n)i =n(n+1)/2