f(x)=-x^2 4x-3を平方完成すると-(x-2)^2 1になりますから、頂点は(2,1)です。また、傾きがマイナスなので上に凸のグラフということがわかりますよね？そうすると、条件の最大値が1ですから、x＝2のとき(頂点座標のところで)最大値となるとわかりますよね？ですから場合分けしないのです！
いま外にいて、頭の中でしたので、グラフとか紙に書いたほうがよかったら、言ってください！20分後には送れます！
xの定義域がa≦x≦a 1って条件(問題文中)にありますよね？ですからグラフを見てあげるとわかりやすいんですけど、この問題はaの範囲をきいてますよね？頂点(2,1)また最大値が1であることから、a≦x≦a 1は頂点のX座標(2)を中に含むようにしなければならないということは、グラフで考えてあげるとすぐにわかりますよね？
a≦x≦a＋1です２つとも＋がはずれてしまいました！すいません！
でも最大値が1だとしても範囲が決められてるので場合分けしないといけないんじゃないんですか?範囲がないのなら別ですけど