Question

えいみー

矢印の計算がなんとなくわかるのですが、なんとなく腑に落ちません(´･_･`)
自然対数の底の定義を使ったのはわかるのですが、logを挟んでlim(1+h)^1/hが影響してる点が腑に落ちません(´･_･`)
説明下手ですいません？m(_ _)m

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

マスティ☆

h→0 で (1＋h)^1/h → e なのはOKですよね。
対数関数は連続(途切れた部分が無く、なめらか)な関数なので、たとえば x=a で f(x)=b 、logf(x)=log b ならば、
x→a のとき f(x)→b なので logf(x) → log b となります。
lim を使って表すと、
lim logf(x) → log lim f(x) = log b
となります。

えいみー

なるほど概ねこういうことですよね。

えいみー

お付き合いいただきありがとうございましたm(_ _)m

Answer 2

マスティ☆

対数をとってから極限をとっても、
極限をとってから対数をとっても同じだからです。
つまり、
lim log (1 h)^1/h
= log lim (1 h)^1/h
= log e
となります。

えいみー

なぜ同じなのかがわからないのです(

Answer 3

うまひこ

logやその他の特別な処理が必要そうな式だとしても、「変数hが関わっていない時点で」ただの定数とみる、ということでしょう。注目すべきは変数部分だけです。
たとえばlim2(x+1)もlim log(x+1)も本質的にはなんら違いはありません。対数をとろうが三角関数をとろうが定数をかけようが、これらは全て、広い意味での「関数」にすぎず、扱い方に差はないということです。

えいみー

うーん

えいみー

lim(log an)=log(lim an)が

えいみー

感覚的にはわかっても、理屈がわからないのです。

うまひこ

むむ。
limとlogを入れ替えているのではなく、そのまま処理してるんだと思います。