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|a|=5なので、点A(-3,4)は、原点O中心半径5の円上にあります。x軸の正の部分と線分OAのなす角をθとすると、点Aの座標は、
A(5cosθ,5sinθ)
で表せます。(三角比の範囲を見直してみよう。)
ここから、cosθ=-3/5 sinθ=4/5が分かります。
一方で、bについても、aとのなす角が30ﾟなので、x軸の正の部分と線分OBとのなす角はθ±30ﾟ
したがって、
B(5cos(θ±30ﾟ) , 5sin(θ±30ﾟ))
これを加法定理を用い計算すると、
B( (-3√3±4)/2 , (4√3±3)/2 )
となるので、
b=( (-3√3±4)/2 , (4√3±3)/2 ) (複号同順)
が求めるものになります。

以下、計算部分。
a=(5cosθ,5sinθ)
cosθ=-3/5 sinθ=4/5
b=(5cos(θ±30ﾟ) , 5sin(θ±30ﾟ))
=(5(cosθcos30ﾟ干sinθsin30ﾟ) ,
5(sinθcos30ﾟ±cosθsin30ﾟ))
=(5(-3/5×√3/2干4/5×1/2) ,
5(4/5×√3/2±-3/5×1/2))
=(-3√3/2干2 , 2√3干3/2)
=(-3√3/2±2 , 2√3±3/2)
=( (-3√3±4)/2 , (4√3±3)/2 )

計算間違いがあったらごめんなさい。