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逆を確認しているんですね。
条件に合う点は、双曲線の上にあるけど、双曲線の上の全ての点がPQの延長となっているようなPQが存在するとは限らないということでしょう。
同値変形を繰り返していれば、この逆の確認は要らないはずですが、同値変形とも言えない部分があるという認識なのだと思います。
詳細を読み込んでいないので、だいたいそういうことだと考えられるという回答でした。
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