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簡単な説明でいいなら、
k!=kつのグループを一列に並べる並べ方の総数なので、
kつのグループを区別したときの並べ方の総数をk!で割ったものは、
kつのグループの区別をなくした場合の数と同じになるので、
nSkの定義に当てはまる。
ということだと思います。
ってことだと思います。