Question

とある高校生

0,1,2,3,4,5から作られる3桁の自然数について、奇数の和はいくらか。

この問題が解説を見ても、解き方を調べてもわかりません。どなたか助けてくれませんか？

画像に解説を載せておきます。

数a 自然数 奇数の和

Answer 1

えむえー

とりあえず奇数なんで1の位から考えましょう。
奇数の1の位は1,3,5のうちのどれか

(i)1の位が1のとき
〇△1=100×〇+10×△+1
〇=2のとき
201=100×2+10×0+1
231=100×2+10×3+1
241=100×2+10×4+1
251=100×2+10×5+1

全部足すと
201+231+241+251=100×2×4+10×(0+3+4+5)+4
=800+120+4
=924

ていうことがわかると同じようにして
〇=3のときは
100×3×4+10×(0+2+4+5)+4=1200+110+4=1314
〇=4のときは
100×4×4+10×(0+2+3+5)+4=1600+100+4=1704
〇=5のときは
100×5×4+10×(0+2+3+4)+4=2000+90+4=2094

これらは出た値を足したら良いのだけれど結局の所
右辺をそれぞれ足し続けると
100×4×(2+3+4+5)+10×(0×4+2×3+3×3+4×4+5×3)+4×4=5600+420+16=6076

(ii)1の位が3のとき
(i)を応用すると
100×4×(1+2+4+5)+10×(0×4+1×3+2×3+4×3+5×3)+12×4=4800+360+48=5208

(iii)1の位が5のとき
100×4×(1+2+3+4)+10×(0×4+1×3+2×3+3×3+4×3)+20×4=4000+300+80=4380

(i)+(ii)+(iii)=15624

分からなかったら言ってください。

とある高校生

葉月さんとはまた違う考え方を教えていただきありがとうございます。
考え方のバリエーションが増え、とてもためになりました。
葉月さん同様、また質問を投稿した時にはよろしくお願いします、えむえーさん

えむえー

いえいえ
少しでもとある高校1年生様の手助けになれば幸いです。
頑張ってください。

Answer 2

葉月

読みにくい、わかりにくいかもしれませんが、読んでみてください。

「奇数の個数を求める時」
一の位。1,3,5 → 3通り
百の位。0、一の位以外 → 4通り
十の位。一の位、百の位以外 →3通り

「補足(?)」
・百の位に0は現れない。
・一の位で奇数を使うので、
偶数 2,4 → 一の位に何を選んでも現れることができる。
奇数 1,3,5 → 自分が一の位に選ばれていない時に現れることができる。

○百の位に偶数を選ぶ時。
一の位の選び方は、
奇数から選ぶので、3通り。
十の位の選び方は、
6個から百の位の数と一の位の数を除いた4通り。
よって、2, 4は、それぞれ、3×4＝12回現れる。

○百の位に奇数を選ぶ時。
一の位の選び方は、
奇数3個から百の位の数を除いた2通り。
十の位の選び方は、
6個から百の位の数と一の位の数を除いた4通り。
よって、1, 3, 5は、それぞれ、2×4回現れる。

葉月

○十の位に0を選ぶ時。
一の位の選び方は、3通り。
百の位の選び方は、6個から十の位の数と一の位の数を除いた4通り。
よって、0は、3×6＝18回現れる。

○十の位に奇数を選ぶ時。
一の位の選び方は、
奇数の3個から十の位の数を除いた2通り。
百の位の選び方は、6個から0と十の位の数と一の位の数を除いた3通り。
よって、1, 3, 5は、それぞれ、2×6＝12回現れる。

○十の位に偶数を選ぶ時。
一の位の選び方は、3通り。
百の位の選び方は、
6個から0と十の位の数と一の位の数を除いた3通り。
よって、2, 4は、それぞれ、3×3＝9回現れる。

葉月

○一の位は奇数。
百の位の選び方は、
6個から0と一の位の数を除いた4通り。
十の位の選び方は、
6個から一の位の数と百の位の数を除いた4通り。
よって、1, 3, 5が、それぞれ、4×4＝16回現れる。

とある高校生

「各◯×◯回」がやはりわかりません。

葉月

たとえば…

一の位に1を選ぶとします。
(□□1の形の奇数になる。)

すると、百の位の選び方は、0,1,2,3,4,5の6個から
0と一の位に選んだ1を除いた、2,3,4,5の4個から選ぶことになります。
なので、百の位の数の選び方は2か3か4か5の4通りになります。

ここで、百の位に2を選びましょう。
(2□1の形の奇数)

この時、十の位の選び方は、0,1,2,3,4,5の6個から
一の位に選んだ1と百の位に選んだ2を除いた、4個
から選ぶことになります。
なので、十の位の数の選び方は0か3か4か5の4通りになります。

ここで、十の位に0を選びます。
（201という奇数ができる。）

(百の位の数の選び方)×(十の位の数の選び方)×(一の位の選び方)＝(できる整数の個数)
はわかりますか？

今は、一の位の数を1として考えているので、
(百の位の数の選び方)×(十の位の数の選び方)＝(できる整数の個数）となります。

よって、
一の位が1の奇数(□□1の形の奇数)は、
4通り×4通り＝16通り できる。

言い換えると、
できる16通りの奇数の一の位は全て1です。

16通りの奇数とは、つまり16個の奇数です。

ということは、16個分、一の位に1が登場する訳です。

言い換えると、16回、一の位に1が登場する。
つまり、1が16回現れる。

ということになります。

長いのに、上手く説明できなくて申し訳ないです。
嫌でなければ、いくらでも説明させていただきます。

とある高校生

丁寧に教えていただきありがとうございます。
各◯×◯回の意味がわかりました。
こちらの理解力が乏しいせいで長文を打たせてしまう形になってしまい、本当に申し訳ありません。
また、質問を投稿した時にはよろしくお願いします、葉月さん。