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t = 1/2とするとx=0の1つのxが存在する。
t > 1/2のtに対しては、
log(x^2 +√2) = t
を満たすx=±αという2つのxが存在する。この時のαの値はどうでもいいです。とにかく
t > 1/2では2つのxが存在するということだけを言いたいので。
一応わからない時のために問題の初めから説明します。
まずこの問題は、
log(x^2 +√2) = t
と置換して、
t^2 -2t + a = 0
の実数解の個数を調べる問題です。
tは置換したものなので、まずはtのとりうる範囲を調べます。x≧0より、
log(x^2+√2) ≧ log(√2) = log2^(1/2) = 1/2
(底は全て2)
より
t≧1/2 ★
とわかりました。
ここまでが青い四角で囲まれた部分のすぐ上の部分です。
置換したtを見てみると、logの中身にxの2次の項がありますから「tのとる値によっては、そのtを満たす実数xが最大2個存在する」ということが予想できます。
具体的には、
t = 1/2とするとx=0の1つのxが存在する。★★
t > 1/2のtに対しては、
log(x^2 +√2) = t
を満たすx=±αという2つのxが存在する。ただしαは実数。★★★
次に、本題の
t^2 -2t + a = 0
の解の個数を調べます。
同値変形して、
-t^2 +2t = a
この左辺と右辺をそれぞれ
y= -t^2 +2t
y= a
としてこの２つの交点を求めます。
上の2つの式をt-y平面上に書いたのが緑の四角で囲まれたグラフです。
このaを色々と動かして、その時の交点の個数を求めますが、★より放物線はt ≧ 2に注意してください。
また、交点のtの座標が★★および★★★の時は、それぞれ１つの交点に対して1つのxと、2つのxを持ちます。
例えばt>1/2の範囲で、
y= -t^2 +2t
y= a
の交点が2つあったら、これを満たすxが4つ存在するということです。
私の説明の下手さもあって長くなりましたが、意味さえわかってしまえば簡単な問題です。
置換した文字式が単調増加単調減少でない、2次以上の式や三角関数などを使って表されている場合は今回のように、置換式の解の個数と、置換後にできた式の解の個数を場合分けして足せという問題です。
応援してます。
とても丁寧な説明ありがとうございます！
こうやって説明のポイントがわけて書かれていたのでとてもわかり易かったです!!
本当にありがとうございます( ¨̮ )