look forward to~のtoは前置詞なので、toの後ろは名詞です。ですので、名詞の役割を果たす動名詞playingとします！
不定詞のtoか前置詞のtoか、見分ける方法はないので、覚えるときにlook forward to ~ingと覚えましょー！
回答
疑問は解決しましたか？
おすすめノート
総合英語be まとめ（１）
7129
145
【総合英語フォレスト】まとめ（４）分詞／比較
5774
151
【総合英語フォレスト】まとめ（１）動詞と文型／動詞と時制
4230
26
【総合英語フォレスト】まとめ（３）態／不定詞／動名詞
4180
40
ありがとうございます！