自動詞です。
見分けかはなかなか一概には言えないのですが
まずhomeが副詞だということがポイントです。
これは
手紙を書く
という意味なので目的語はとれませんよね。
もちろんあえて
wrote a letter
とすれば他動詞ですし
意味を変えて
wrote "home"
「home」と書いた
であれば他動詞です。
なので見た目だけですべてを判断することはできないです
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