私が覚えている範囲では、that節は動詞の後、形容詞の後、関係代名詞、同格です。
動詞の後の時は動詞が「言う」や「聞く」関連の語句(say,tell,hearなど)と、提案や要求を表す語句(suggest,proposeなど)です。提案や要求も「言う」に含まれますが、わざわざ分けたのは提案や要求はthatの後の文にshouldが含まれてまして、このshouldは省略されることもあります。その省略された時にthat節の動詞が原形になるので、注意してください。
形容詞の後の時はIt's〜thatという形で用いられます。この時形容詞がnaturalやimportantなどの主観形容詞の時にthat節の中の動詞はshouldが含まれているので、省略が起こった時は原形になります。
関係代名詞の時はwhichやwhoと同じような使い方をして、前に名詞が来ます。ただし、thatの前に前置詞を持ってこれません。また、that節の中は不完全文になっています。
同格の時はthatの前に、関係代名詞の時と同じで、名詞が来ます。ただし、この名詞は情報伝達系の名詞であり、また、that節の中は完全文となっているので、見分けがつくと思います。
完全文、不完全文というのは、完全文は文型の要素(S,V,O,C)が全部含まれている(文型によってOが無かったり、Cが無かったりします)ことを言い、不完全文は含まれているはずのそれらの要素のうちどれか一つが欠けていることを言います。
分かりづらいかもしれませんので、その時は聞いてください。
簡潔に言うとthat節は前が動詞、形容詞、名詞の時に使われて、名詞の時は関係代名詞と同格の2種類があるということです。この内容は上の方に書いてあります。
詳しく教えていただけてすごく嬉しいのですが、もう少し簡潔に教えていただけますか？すみません。