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全部数えたとは良い勉強をされました。そういう解き方も十分いいと思いますが，おそらく模範解答は重複組合せを利用した解き方になっていると思いますので，それを解説します。
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なるほど！とてもわかりやすい解説ありがとうございます(*´꒳`*)