ぱかさんの言われる通りです。あらかじめ順位を求めておけば，証明する不等式は3つで済みます。その順位の求め方はどんな方法でも結構です。例えば，図のように直線の傾きを調べる方法もあります。
例えば，(1)の b/a<1 の証明であれば，
(右辺)-(左辺)
=1-b/a
=(a-b)/a
>0 (a>b>0より)
よって，(左辺)<(右辺)が成り立つ。
このような証明になります。(2),(3)も同様に証明してみてください。
ありがとうございます！
Answers
全部証明するとたいへんですので
まずa>b>0なので仮にa=2,b=1としてどういう順番になるか考えます（これは回答欄には書きません）
それで予想が立つと思います
それを大きい方から小さい方を引いて
0以上を示していけばいいと思います
やり方だけで申し訳ないのてすが少しでも参考になれば幸いです
ありがとうございます！
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投稿に半角の＜や＞を入れると，環境によっては表示が崩れますね。きちんとエスケープ処理をしていないのでしょう。困ったものです。全角文字で再度投稿しておきます。
例えば，(1)の b/a＜1 の証明であれば，
(右辺)-(左辺)
=1-b/a
=(a-b)/a
＞0 (a＞b＞0より)
よって，(左辺)＜(右辺)が成り立つ。
このような証明になります。(2),(3)も同様に証明してみてください。