Question

ゲスト

すいません急ぎです！
微分の3次関数で、「常に増加する」というのと、「極値をもたない」というのは何が違うんですか？
また、「常に減少する」と「極値をもつ」の違いも教えてください！

微分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

えむえー

定義通りに行きましょう。
極値については
f'(x)=0となるx=tが存在する
⇨x=tで極値を持つ候補となる
⇨f'(s)の符号≠f'(u)の符号 s<t<u
⇨x=tで極値を持つ

常に増加する。(単調増加のコトかな？)
つまり、x≠yでx<y⇨f(x)≦f(y)
これはfが微分可能ならf'(x)≧0
で判別できます。

つまり、極値を持たない(f'(s)の符号≠f'(u)の符号 となる所がない)⇆単調増加(減少)(f'(x)≧0(f'(x)≦0))

上のことから考えると、結論は、単調増加と、極値を持たないことは同値です。

しかし、常に増加と単調増加は違うことを考慮してくださいね？
常に増加とは「狭義単調増加」
増加はしますが、一致している点もあるのは「広義単調増加」です。
例えばガウス記号でf(x)=[x]は広義単調増加です。
三次関数では同じことですが…

ゲスト

ということは、「常に増加する」と「極値をもたない」という場合が別々の問題となってた場合、同じ問題として処理していいんですか？

えむえー

問題は三次関数ですよね？
それでしたらその通りですが、
極値を持たない⇨常に増加(もしくは減少)です
増えるか減るかは判断しなければなりませんが
三次関数なら同じ問題と捉えていいでしょう。

ゲスト

わかりました！
丁寧にありがとうございます！！

えむえー

いいえ〜！