Question

ゲスト

この問題の外接円の半径の求め方を教えてください！

Answer 1

Mozart

３辺の長さを求める
→余弦定理でcosを求める
→相互関係よりsinを求める
→正弦定理で外接円の半径を求める

Answer 2

Hiro

この問題の類題などに対応できるように、解説する前に一般的なポイントを書いておきます。

求めたいのは三角形の面積(S =(def)) と外接円の半径
なので、位置的な要素は関係ないですね。
わかりやすく言うと、計算しやすくするために、
「与えられている図形をつくる点のうちの１つの点が原点に来るように平行移動しても、求める値は変わらないということです。
この「平行移動させる」という操作はセオリーですのでさっと思いつくようにしておいてください。

どの点を原点に持っていくかは、
基本的にx-y座標平面上の、
できれば第一象限内、
あるいはもう少し拡大して
第一象限と第二象限内、
に図形が納まるように原点を設定すると、符号計算のミスが少なくなります。
あるいは、
１つの辺がx,yのいずれかの軸に接するように平行移動移動すると、計算しやすくなります。

そして、三角形の面積の場合は、
原点以外の2点をそれぞれ、
P(a,b)、Q(c,d)として、
S(面積)＝(1/2) |ad-bc|
を利用して解くのが一般的な解法です。

さて解説です。

3点の座標をみて、三角形の概形と大まかな位置を確認してください。(添付写真参照)
すると、今回は、たまたま直角になっている角があるので(喜)、上記の一般的な解法ですではなく、幾何的に解いてしまいましょう。
三角形の直交する辺の長さはそれぞれ、
長さ15と10なので、

(1/2) x 15 x 10 = 75
これが三角形の面積です。

次、外接円の半径です。
すみません、急用で時間がないので、ざっと書きます。普通は円の一般的方程式に三点を代入して3元二次方程式をといて、、という形になりますが、
今回は直行してるところがあるので、その角に向かいあう辺は、外接円の直径といえます。

なのでその直径の長さを与えらた座標の、1つ目と２つ目の座標から、三平方の定理を使ってもとめてください。
問われているのは半径なので、それを半分にしたものが半径です。

あと、円の中心も聞かれることが多いので、求めておきましょう。上で使った2点の中点が外接円の中点、すなわち外心です。

時間なくて乱暴な解説になってしまいすみません、では！

ゲスト

なるほど！時間のないなか、こんなにも丁寧な解説ありがとうございました！

Hiro

やりっぱなしですみませんでした。亀ですが、、解答書いておきます。

(1)
3点をそれぞれA,B,Cとして
AC⊥BCより
15 x 10 ÷ 2 = 75

(2)
ABは外接円の直径より、
r=√(15^2 + 10^2) / 2
=5√13 / 2

と書けばOKです。