✨ Best Answer ✨
解説というより、頭の中でどういう風に考えながら証明問題を解いていくのか、ということを重視してみました。なるべく丁寧に書きましたのでかなり長くなってしまいましたが、問題と照らし合わせながらゆっくりと読み進めてください。
まず知識の確認です
三角形の相似の成立条件は
・「３組の辺の比」がすべて等しい
・「２組の辺の比とその間の角度」が等しい
・「２組の角度」が等しい
です。これは相似を証明する上で必要なので暗記しておきましょう。
(3)-1の解説のです。
△ABD∽△AEBの証明します。
まず、
△ABDの角のうちの１つ、∠BAD
そして、
△AEBの角のうちの１つ、∠EAB
を見てみましょう。
どちらも角度が同じですね。
このことから、
「△ABDと△AEBの間には、同じ角度の角が1つある」ということがわかりました。わかりやすいようにこの角に「共通の角」と名前をつけます。角度はわからないので取りあえず「a°」としておきます。
では、上に書いた三角形の相似条件をもう一度見てみましょう。
先ほど、「1つの角が等しい」ということがわかったので、相似条件の2つ目か3つ目が「角度を利用して相似を証明する条件」なので、今回の問題に使えそうだと考えられます。
2つ目の相似条件を使うには、
「共通の角」を作っている2つの辺の比が等しいという必要があります。具体的に書くと、
AB:AD=AD:AE
を示すということです。
3つ目の相似条件を使うには、
今わかっている「共通の角」以外に、もう１つ「角度が同じ角」があるという必要があります。こちらも具体的に書くと、
❶.∠AEB=∠ABDを示す、あるいは、
❷.∠ABE=∠ADBを示すということです。
2つ目と3つ目、どちらの条件を使ってもいいのですが、今回の問題では「円に内接する三角形」ですので、
★「同じ弧を持つ円周角は頂点が円上のどこにあっても常に角度は一定である」
という性質、を使えば、3つ目の相似条件が使えそうだと考え、3つ目の相似条件を使う方針で進めます。
では、どの角が等しいと示そうか、どこかに「等しい角度」はないか？と考えているはずです。その時、問題文をよく見てみると「AB=ACの二等辺三角形ABC」という文が目につくと思います。二等辺三角形は２つの辺の長さが等しいという性質のほか、２つの「角度が等しい」という性質があります。「角度が等しい」という言葉が出てきましたね。これをうまく利用できないか、と考えるわけです。
問題文中の二等辺三角形の同じ角は、AB=ACであることから、
∠ABC=∠ACB
であるとわかります。
図を見ると、これを２つの三角形の角のどれかと結びつけられないかと考えると、
∠ABCは、いま相似を証明しようとしている△AEBの角の１つである∠ABEと同じ角であるということがわかります。つまり、
∠ABE=∠ACB
ということです。すると上に書いた❶、❷の方法のうち、∠ABEが出てくる❷の方法で証明できそうだとなんとなく予想できますね。そして今わかっているのは、
∠ABE=∠ACB
示したいのは❷より、
∠ABE=∠ADB
なので、
「∠ACB=∠ADBが示せれば、∠ABE=∠ADBを示せた」ということになりますね。
では図に戻りましょう。
すると∠ACBと∠ADBはどちらも「同じ弧をもつ円周角」であることがわかります。
★より∠ACB=∠ADBが示せました。
つまり∠ABE=∠ADBが示せたということです。
これでようやく△ABDと△AEBにおいて、
・「共通の角」がある、∠BAD=∠EAB
・「共通の角」以外にもう１つ角度が同じ角がある、∠ABE=∠ADB
という関係がわかりました。
これは冒頭に書いた相似条件の3つ目ですね。
よって△ABD∽△AEBであると示せました。
実際はこんなにごちゃごちゃした内容を書く必要は全くありません。なぜこのように、長々と書いたかというと、
何かの問題を解くとき、やみくもに手をつけるのではなく、問題文や図などをよく見てください。出題者の「〇〇の方法を使ってこの問題を解いてください」というメッセージがよみ取れるかも知れません。数学では答えは１つでも、それを導く方法は１つではありません。今回の場合は、相似の成立条件が3つあるので、その中の１つを選ぶ必要があったわけです。そして、選ぶ方法によっては、計算がとても複雑になったり、その時持っている知識だけでは解答にたどり着けないいったことも起こってくるわけです。そういった意味で、出題者の意図を読み取ることは大切であり、有効な武器になるのです。そういった意味で、このように細々と書いたのです。問題を見た時は、解き始める前に、何かメッセージが隠されていないかと、よくよく問題を読んでみてください。
長文乱文で失礼しました。
以上、ここで力尽きたので、そのあとは自力で頑張ってください(オチ)
長文で丁寧でとても助かりました♪授業をうけた気分です。これから活かしていきたいです。