相加平均・相乗平均の関係を使います(a≧0, b≧0のとき、a+b/2≧√ab)
(1)a>0 , 9/a>0だから、相加平均・相乗平均の関係より
a + 9/a ≧ 2√(a * 9/a) = 6
等号成立はa = 9/aすなわちa=3のとき
(2)a+b>0 , 1/a+b>0だから、相加平均・相乗平均の関係より
2/(a+b)+2a+2b
= 2(1/(a+b)+a+b)
≧ 2 * 2√(a+b)(1/a+b) = 4
等号成立はa+b = 1/a+bすなわちa+b=1のとき
(3)与式を展開すると
(a+2b)(2/a+1/b) = 4b/a + a/b +4
ここで、4b/a>0 , a/b>0だから、相加平均・相乗平均の関係より
4b/a + a/b +4 ≧ 2√(4b/a * a/b) +4
= 2*2 +4 = 8
等号成立は4b/a = a/bすなわちa=2bのとき
