ありがとうございます。分かりました。

文字の右下につく小さい数や文字を[ ]の中に書くとします
S[n]とかS[n+1]はたいてい, 数列を足し合わせたものを表します

その意味を考えると
S[n] = a[1]+a[2]+…+a[n-1]+a[n]
S[n+1] = a[1]+a[2]+…+a[n-1]+a[n]+a[n+1]
です

S[n+1]とS[n]の違いは最後に足したa[n+1]だけですから
S[n+1]-S[n] = a[n+1]
です